Составить уравнение плоскости проходящей через точку м. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Содержание статьи

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения
2. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.
3. Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения

Пусть задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и уравнение плоскости

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n =(A, B, C ) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D , при котором точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) удовлетворяла уравнению плоскости (1):

Подставляя значение D из (3) в (1), получим:

Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и параллельной плоскости (1).

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1, −6, 2) и параллельной плоскости:

Подставляя координаты точки M 0 и координаты нормального вектора в (3), получим.

Рассмотрим в пространстве плоскость Q. Положение ее вполне определяется заданием вектора N, перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки лежащей в плоскости Q. Вектор N, перпендикулярный плоскости Q, называется нормальным вектором этой плоскости. Если обозначить через А, В и С проекции нормального вектора N, то

Выведем уравнение плоскости Q, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор . Для этого рассмотрим вектор соединяющий точку с произвольной точкой плоскости Q (рис. 81).

При любом положении точки М на плоскости Q вектор МХМ перпендикулярен нормальному вектору N плоскости Q. Поэтому скалярное произведение Запишем скалярное произведение через проекции. Так как , а вектор , то

и, следовательно,

Мы показали, что координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (4). Нетрудно заметить, что координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (в последнем случае ). Следовательно, нами получено искомое уравнение плоскости Q. Уравнение (4) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно первой степени относительно текущих координат

Итак, мы показали, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат.

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Здесь . На основании формулы (4) получим

или, после упрощения,

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (4) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей. Уравнение (4), в котором коэффициенты А, В и С могут принимать любые значения, называются уравнением связки плоскостей.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , (рис. 82).

Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку

Лекция 5. Решение задач по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1, -2, 5) параллельно плоскости 7x -y -2z -1=0.

Решение. Обозначим через Р заданную плоскость, пусть Р 0 – искомая параллельная плоскость, проходящая через точку М 0 (1, -2, 5).

Рассмотрим нормальный (перпендикулярный) вектор плоскости Р . Координаты нормального вектора являются коэффициентами при переменных в уравнении плоскости 
.

Поскольку плоскости Р и Р 0 параллельны, то вектор перпендикулярен плоскости Р 0 , т.е. - нормальный вектор плоскости Р 0 .

Уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (x 0 , y 0 , z 0) с нормалью
:

Подставляем координаты точки М 0 и вектора нормали в уравнение (1):

Раскрывая скобки, получаем общее уравнение плоскости (окончательный ответ):

2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (-2, 3, 0) параллельно прямой
.

Решение. Обозначим через L заданную прямую, пусть L 0 – искомая параллельная прямая, проходящая через точку М 0 (-2,3,0).

Направляющий вектор прямой L (ненулевой вектор, параллельный этой прямой) параллелен также и прямой L 0 . Следовательно, вектор является направляющим вектором прямой L 0 .

Координаты направляющего вектора равны соответствующим знаменателям в канонических уравнениях заданной прямой

.

Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z {l , m , n }

. (2)

Подставляем координаты точки М 0 и направляющего вектора в уравнение (2) и получаем канонические уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) параллельно ненулевому вектору {l , m , n }, имеют вид:

(3)

Подставляем координаты точки М 0 и направляющего вектора в уравнения (3) и получаем параметрические уравнения прямой:

3. Найти точку
, симметричную точке
, относительно: а) прямой
б) плоскости

Решение. а) Составим уравнение перпендикулярной плоскости П , проектирующей точку
на данную прямую:

Чтобы найти
используем условие перпендикулярности заданной прямой и проектирующей плоскости. Направляющий вектор прямой
перпендикулярен плоскости  вектор
является вектором нормали
к плоскости  Уравнение плоскости, перпендикулярной заданной прямой имеет вид или

Найдем проекцию Р точки М на прямую. Точка Р есть точка пересечения прямой и плоскости, т.е. ее координаты должны одновременно удовлетворять и уравнениям прямой, и уравнению плоскости. Решим систему:

.

Чтобы решить ее, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставляя выражения для
в уравнение плоскости, получим:

Отсюда находим Найденные координаты – это координаты середины Р отрезка, соединяющего точку
и симметричную ей точку

В школьном курсе геометрии формулировалась теорема.

Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Находим координаты точки
из формул для координат середины отрезка:

Получаем: Итак,
.

Решение. б) Чтобы найти точку, симметричную точке
относительно данной плоскости П , опустим перпендикуляр из точки
на эту плоскость. Составим уравнение прямой с направляющим вектором
, проходящей через точку
:

Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что направляющий вектор прямой перпендикулярен плоскости 
. Тогда уравнение прямой, проектирующей точку
на заданную плоскость, имеет вид:

Решив совместно уравнения
и
найдем проекцию Р точки
на плоскость. Для этого перепишем уравнения прямой в параметрическом виде:

Подставим эти значения
в уравнение плоскости: Аналогично п. а), используя формулы для координат середины отрезка, находим координаты симметричной точки
:

Т.е.
.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей а) через прямую
параллельно вектору
; б) через две пересекающиеся прямые
и
(предварительно доказав, что они пересекаются); в) через две параллельные прямые
и
; г) через прямую
и точку
.

Решение. а) Поскольку заданная прямая лежит в искомой плоскости, и искомая плоскость параллельна вектору , то нормальный вектор плоскости будет перпендикулярен направляющему вектору прямой
и вектору .

Следовательно, в качестве нормального вектора плоскости можно выбрать векторное произведение векторов и :

Получаем координаты нормального вектора плоскости
.

Найдем точку на прямой. Приравнивая отношения в канонических уравнениях прямой к нулю:

,

находим
,
,
. Заданная прямая проходит через точку
, следовательно, плоскость тоже проходит через точку
. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно вектору , получаем уравнение плоскости , или , или, окончательно,
.

Решение. б) Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными. Заданные прямые

и
(4)

не параллельны, поскольку их направляющие векторы
и
не коллинеарны:
.

Как проверить, что прямые пересекаются? Можно решать систему (4) из 4 уравнений с 3 неизвестными. Если система имеет единственное решение, то мы получаем координаты точки пересечения прямых. Однако для решения нашей задачи - построения плоскости, в которой лежат обе прямые, точка их пересечения не нужна. Поэтому можно сформулировать условие пересечения двух непараллельных в пространстве прямых без нахождения точки пересечения.

Если две непараллельные прямые пересекаются, то направляющие вектора
,
и соединяющий лежащие на прямых точки
и
вектор лежат в одной плоскости, т.е. компланарны  смешанное произведение этих векторов равно нулю:

. (5)

Приравниваем отношения в канонических уравнениях прямых к нулю (а можно к 1 или любому числу)

и
,

и находим координаты точек на прямых. Первая прямая проходит через точку
, а вторая прямая – через точку
. Направляющие векторы этих прямых соответственно равны
и
. Получаем

Равенство (5) выполнено, следовательно, заданные прямые пересекаются. Значит, существует единственная плоскость, проходящая через эти две прямые.

Переходим ко второй части задачи – составление уравнения плоскости.

В качестве нормального вектора плоскости можно выбрать векторное произведение их направляющих векторов и :

Координаты нормального вектора плоскости
.

Мы выяснили, что прямая
проходит через
, следовательно, искомая плоскость тоже проходит через эту точку. Получаем уравнение плоскости , или
или, окончательно,
.

в) Так как прямые
и
параллельны, то в качестве нормального вектора нельзя выбрать векторное произведение их направляющих векторов, оно будет равно нулевому вектору.

Определим координаты точек
и
, через которые проходят эти прямые. Пусть
и
, тогда
,
. Вычислим координаты вектора . Вектор
лежит в искомой плоскости и неколлинеарен вектору , тогда в качестве ее нормального вектора можно выбрать векторное произведение вектора
и направляющего вектора первой прямой
:

Итак,
.

Плоскость проходит через прямую
, значит, она проходит через точку
. Получаем уравнение плоскости: , или .

г) Приравнивая отношения в канонических уравнениях прямой к нулю
, находим
,
,
. Следовательно, прямая проходит через точку
.

Вычислим координаты вектора . Вектор
принадлежит искомой плоскости, в качестве ее нормального вектора выберем векторное произведение направляющего вектора прямой
и вектора
:

Тогда уравнение плоскости имеет вид: , или .

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Составим уравнение плоскости, которая проходит через три данные точки М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1), М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2), М 3 (х 3 ; у 3 ; z 3). Возьмем на плоскости произвольную точку М (х ; у ; z ) и составим векторы = (х – х 1 ; у – у 1 ; z – z 1), = (х 2 – х 1 ; у 2 – у 1 ; z 2 – z 1), = (х 3 – х 1 ; у 3 – у 1 ; z 3 – z 1). Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно, они компланарны. Используя условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получим ∙ ∙ = 0, то есть

= 0. (3.5)

Уравнение (3.5) называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки .

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Угол между плоскостями

Пусть даны две плоскости

А 1 х + В 1 у + С 1 z + D 1 = 0,

А 2 х + В 2 у + С 2 z + D 2 = 0.

За угол между плоскостями принимаем угол φ между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами (что дает два угла, острый и тупой, дополняющих друг друга до π). Так как нормальные векторы плоскостей = (А 1 , В 1 , С 1) и = (А 2 , В 2 , С 2) перпендикулярны им, то получаем

cosφ = .

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Если две плоскости перпендикулярны, то нормальные векторы этих плоскостей также перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю: ∙ = 0. Значит, условием перпендикулярности двух плоскостей является

А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 = 0.

Условие параллельности двух плоскостей

Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормальные векторы. Тогда одноименные координаты нормальных векторов пропорциональны. Значит, условием параллельности плоскостей является

= = .

Расстояние от точки М 0 (x 0 , y 0 , z 0) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0.

Расстоянием от точки М 0 (x 0 , y 0 , z 0) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость, и находится по формуле

d = .

Пример 1. Р (– 1, 2, 7) перпендикулярно вектору = (3, – 1, 2).

Решение

Согласно уравнению (3.1) получаем

3(х + 1) – (у – 2) + 2(z – 7) = 0,

3х – у + 2z – 9 = 0.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; – 3; – 7) параллельно плоскости 2х – 6у – 3z + 5 = 0.

Решение

Вектор = (2; – 6; – 3) перпендикулярный к плоскости перпендикулярен и к параллельной плоскости. Значит, искомая плоскость проходит через точку М (2; – 3; – 7) перпендикулярно вектору = (2; – 6; – 3). Найдем уравнение плоскости по формуле (3.1):

2(х – 2) – 6(у + 3) – 3(z + 7) = 0,

2х – 6у – 3z – 43 = 0.

Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (2; 3; – 1) и М 2 (1; 5; 3)перпендикулярно к плоскости 3х – у + 3z + 15 = 0.

Решение

Вектор = (3; – 1; 3) перпендикулярный к заданной плоскости будет параллелен искомой плоскости. Таким образом, плоскость проходит через точки М 1 и М 2 параллельно вектору .

Пусть М (x ; y ; z ) произвольная точка плоскости, тогда векторы = (х – 2; у – 3; z + 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

(х – 2) – (у – 3) + (z + 1) = 0,

10(х – 2) – (– 15)(у – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(х – 2) + 3(у – 3) – (z + 1) = 0,

2х + 3у – z – 14 = 0 – уравнение плоскости.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям 2х – у + 5z + 3 = 0 и х + 3у – z – 7 = 0.

Решение

Пусть – нормальный вектор искомой плоскости. По условию плоскость перпендикулярна данным плоскостям, значит и , где = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Значит, в качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и , то есть = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Подставив координаты вектора в уравнение плоскости, проходящей через начало координат Ах + Ву + Сz = 0, получим

– 14х + 7у + 7z = 0,

2х – у – z = 0.

Вопросы для самопроверки

1 Записать общее уравнение плоскости.

2 Каков геометрический смысл коэффициентов при х , у, z в общем уравнении плоскости?

3 Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) перпендикулярно к вектору = (А ; В ; С ).

4 Записать уравнение плоскости в отрезках по осям и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

5 Записать уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1), М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2), М 3 (х 3 ; у 3 ; z 3).

6 Записать формулу, по которой находят угол между двумя плоскостями.

7 Записать условия параллельности двух плоскостей.

8 Записать условие перпендикулярности двух плоскостей.

9 Записать формулу, по которой вычисляется расстояние от точки до плоскости.

Задачи для самостоятельного решения

1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; – 1; 1) перпендикулярно вектору = (1; – 2; 3). (Ответ : х – 2у + 3z – 7 = 0)

2 Точка Р (1; – 2; – 2) является основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к плоскости. Составить уравнение этой плоскости. (Ответ : х – 2у – 2z – 9 = 0)

3 Даны две точки М 1 (2; – 1; 3) и М 2 (– 1; 2; 4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно вектору . (Ответ : 3х – 3у – z – 6 = 0)

4 Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М 1 (3; – 1; 2), М 2 (4; – 1; – 1), М 3 (2; 0; 2). (Ответ : 3х + 3у + z – 8 = 0)

5 М 1 (3; – 1; 2) и М 2 (2; 1; 3) параллельно вектору = (3; – 1; 4). (Ответ : 9х + 7у – 5z – 10 = 0)

6 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (2; 3; – 4) параллельно векторам = (3; 1; – 1) и = (1; – 2; 1). (Ответ : х + у + 7z + 14 = 0)

7 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; – 1; 1) перпендикулярно плоскостям 2х – у + z – 1 = 0 и х + 2у – z + 1 = 0. (Ответ : х – 3у – 5z + 1 = 0)

8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (1; 0; 1) и М 2 (1; 2; – 3) перпендикулярно плоскости х – у + z – 1 = 0. (Ответ : х + 2у + z – 2 = 0)

9 Найти угол между плоскостями 4х – 5у + 3z – 1 = 0 и х – 4у – z + 9 = 0. (Ответ : φ = arccos0,7)

10 Найти расстояние от точки М (2; – 1; – 1) до плоскости 16х – 12у + 15z – 4 = 0. (Ответ : d = 1)

11 Найти точку пересечения трех плоскостей 5х + 8у – z – 7 = 0, х + 2у + 3z – 1 = 0, 2х – 3у + 2z – 9 = 0. (Ответ : (3; – 1; 0))

12 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М 1 (1; – 2; 6) и М 2 (5; – 4; 2) и отсекает равные отрезки на осях Ох и Оу . (Ответ : 4х + 4у + z – 2 = 0)

13 Найти расстояние между плоскостями х + 2у – 2z + 2 = 0 и 3х + 6у – 6z – 4 = 0. (Ответ : d = )

В этой статье собрана информация, необходимая для решения задачи составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. После решения этой задачи в общем виде мы приведем развернутые решения примеров на составление уравнения плоскости, которая проходит через заданную прямую и точку.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована Oxyz , задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a . Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М 3 .

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

• через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
• если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M 3 проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М 1 и М 2 , лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М 1 , М 2 и М 3 .

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М 1 и М 2 , лежащих на прямой a , а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М 1 , М 2 и М 3 , которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М 3 .

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М 1 и М 2 , лежащих на заданной прямой a .

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве . Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a . Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М 2 , также лежащей на прямой a и отличной от точки М 1 .

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М 3 , не лежащую на прямой a .

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.

Покажем решения нескольких примеров, в которых разберем рассмотренный метод нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Начнем с самого простого случая.

Пример.

Решение.

Возьмем на координатной прямой Ox две различные точки, например, и .

Теперь получим уравнение плоскости, проходящей через три точки М 1 , М 2 и М 3 :

Это уравнение является искомым общим уравнением плоскости, проходящей через заданную прямую Ox и точку .

Ответ:

.

Если известно, что плоскость проходит через заданную точку и заданную прямую, и требуется написать уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости , то следует сначала получить общее уравнение заданной плоскости, а от него переходить к уравнению плоскости требуемого вида.

Пример.

Составьте нормальное уравнение плоскости, которая проходит через прямую и точку .

Решение.

Сначала напишем общее уравнение заданной плоскости. Для этого найдем координаты двух различных точек, лежащих на прямой . Параметрические уравнения этой прямой имеют вид . Пусть точка М 1 соответствует значению , а точка М 2 - . Вычисляем координаты точек М 1 и М 2 :

Теперь мы можем составить общее уравнение прямой, проходящей через точку и прямую :

Осталось получить требуемый вид уравнения плоскости, умножив обе части полученного уравнения на нормирующий множитель .

Ответ:

.

Итак, нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую, упирается в нахождение координат двух различных точек, лежащих на заданной прямой. В этом часто состоит основная сложность при решении подобных задач. В заключении разберем решение примера на составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, которую определяют уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка и прямая a , которая является линией пересечения двух плоскостей и . Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую a и точку М 3 .